Как нарисовать диаграмму множества: два круга внутри U, пересечение и элементы вне обоих. Даю шаги рисунка, пример с участниками и таблицу проверки счёта.
Андрей
Преподаватель, научный редактор
8 мин чтения
Нарисуй прямоугольник U с двумя пересекающимися кругами A и B внутри. Это диаграмма Венна. Общие элементы попадут в перекрытие. Остальные разместятся в отдельных частях кругов или за их пределами, но внутри рамки. Так можно решить задачу «как нарисовать диаграмму множества» на одном листе. Ниже полный пример для десяти участников театральной мастерской, включая тех, кто не выбрал ни одну из двух задач.
Я попробовал перенести на первый рисунок оба списка целиком. Номер 2 оказался записан 2 раза. Получилось больше подписей, чем участников. Участник не раздвоился, он выбрал две задачи. Пришлось поменять порядок: сначала найти общую часть, затем заполнять всё остальное. Этим порядком и воспользуемся.
Задай U, A и B до первого круга
Я собрал общий список из десяти записавшихся на мастерскую. На рисунке я использовал номера. Длинные имена теснились бы. Номер 6 означает конкретного участника, а не шесть человек. Один номер сохраняет это значение во всех записях.
Вот данные для рисунка:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}: все участники этой мастерской.
A = {1, 2, 4, 6, 9}: выбрали работу с декорациями.
Две задачи можно совмещать. Участники 2 и 6 так и поступили. А номера 5, 7 и 10 есть в общем списке, но нет ни в одном из двух выбранных направлений. Это не означает, что их вообще не приняли на мастерскую: наша схема показывает только два конкретных выбора.
Универсальное множество U здесь ограничено десятью записавшимися. Это не «все люди» и не «все любители театра». Я подписываю рамку полностью: «U — участники мастерской». Иначе свободное поле вокруг кругов легко принять за что-то постороннее.
Перед рисунком проверь, что все номера из A и B действительно есть в U. Если в одном списке вдруг появился номер 11, нельзя молча пририсовать его снаружи. Нужно уточнить исходные данные: нового человека забыли включить в U или ошиблись номером? Геометрия такую неясность не исправляет.
Для собственной задачи сначала запиши общий список и два признака. Пригодится разбор того, как написать условие задачи: расплывчатое «кто чем занимается» лучше заменить проверяемыми условиями принадлежности. В нашем примере это два отмеченных выбора, а не впечатление о способностях участников.
Как нарисовать диаграмму множества на листе
Возьми лист в клетку и карандаш. Для этого примера хватит горизонтального прямоугольника примерно 14 × 9 см. Размеры нужны только для удобной компоновки. Они не кодируют число людей и не задают доли.
Я бы рисовал так:
Начерти рамку и подпиши её U. Оставь внутри достаточно свободного места под кругами.
В левой половине нарисуй круг A, в правой — круг B. Например, оба диаметром около 6 см, а расстояние между центрами около 4 см.
Расположи круги так, чтобы их контуры пересеклись в двух точках. Между ними должна получиться заметная общая область, куда поместятся два номера.
Над левым кругом напиши «A: декорации», над правым подпиши «B: озвучивание». Обе фигуры целиком остаются внутри рамки.
В общую область внеси 2, 6. Это пересечение A∩B: каждый из этих участников есть в обоих списках.
В левую часть, которая не попадает в B, внеси 1, 4, 9. В правой части вне A размести 3, 8.
Под кругами, внутри U, запиши 5, 7, 10. Они не принадлежат ни A, ни B.
Циркуль не обязателен. От руки можно сделать овалы, если ясно видно, какая часть общая. Но два круга, которые только касаются друг друга, здесь не подходят: у них не останется внутренней области для номеров 2 и 6. Вложить A целиком в B тоже нельзя — в A есть участники, не выбравшие озвучивание.
Если общая часть слишком узкая, подписи слипаются. Тогда я увеличиваю рисунок. Не выношу номер на линию ради свободного места. В учебной схеме линия — граница области; такая запись заставит читателя гадать, куда относится элемент. Лучше оставить между цифрой и контуром небольшой зазор.
Для сверки содержимого используй эту текстовую карту. Она показывает, что должно оказаться в каждой из четырёх областей, а расположение кругов ты уже построил по шагам выше:
```text
Внутри рамки U:
Только A: {1, 4, 9}
Общая часть: {2, 6}
Только B: {3, 8}
Вне A и вне B: {5, 7, 10}
```
Каждый номер оставь на рисунке только один раз. Записав 2 в пересечении, не добавляй его ещё раз в левую и правую части. Общая часть — одно место на листе с двумя условиями принадлежности.
Проверь четыре области, затем целые множества
Я проверяю готовый рисунок по двум вопросам: «Ничего не потерялось?» и «Не появилось ли лишнего экземпляра?». Простого равенства общего количества недостаточно. Один пропущенный номер и один повтор могут взаимно скрыть ошибку.
Сначала я проверил исходный список от 1 до 10, указывая на каждый номер в его области. Все десять нашлись внутри рамки. Затем я сверил состав областей. Только после этого перешёл к числам.
Что проверяем · Какие номера читаем · Получается
Только A — 1, 4, 9 — 3
Пересечение A∩B — 2, 6 — 2
Только B — 3, 8 — 2
Вне обоих кругов, внутри U — 5, 7, 10 — 3
Всё множество A — Только A и общая часть — 3 + 2 = 5
Всё множество B — Только B и общая часть — 2 + 2 = 4
Объединение A∪B — Три области внутри кругов — 3 + 2 + 2 = 7
Всё U — Все четыре области — 3 + 2 + 2 + 3 = 10
Пересечение A∩B означает «и декорации, и озвучивание». Объединение A∪B означает «хотя бы одна из этих задач», включая обе сразу. Поэтому пересечение содержит два элемента, объединение — семь. Перепутать их легко, если смотреть только на красивые круги, не читая условие.
Почему нельзя просто сложить 5 и 4? В каждом исходном списке есть номера 2 и 6. При сложении численностей мы учтём их дважды. Для объединения нужно убрать повторный учёт общей части: 5 + 4 − 2 = 7. Затем добавляем троих вне обоих: 7 + 3 = 10. Это дополнительная проверка, а не замена сверке номеров.
Ещё одна частая путаница — «вне A» и «вне обоих». Снаружи A находятся и участники 3, 8 из правого круга, и номера 5, 7, 10 под кругами. Но вне обоих расположены только последние три. В формулировке задачи каждое отрицание меняет нужную область.
Пустая область тоже имеет смысл. Если бы общих участников не оказалось, пересечение было бы пустым. Если все выбрали хотя бы одну задачу, свободная область за кругами не содержала бы элементов. В нашем примере обе эти области заполнены, поэтому стирать их ради симметрии нельзя.
Сделай рисунок читаемым без новых математических обещаний
Два одинаковых круга допустимы, хотя в A пять участников, а в B четыре. По размеру нарисованного круга список не пересчитывают. Здесь мы показываем принадлежность элементов. Точная численность берётся из подписей и проверки, а не из измеренной площади закрашенного пятна.
Я не растягиваю левый круг «примерно на одного человека». Такой ход создаст видимость точного сравнения, которого рисунок не обеспечивает. Если нужна пропорциональная визуализация, это отдельная задача с расчётом площадей. Для нашей учебной схемы достаточно читаемых областей и верного размещения номеров.
Цвет можно добавить после проверки. Например, слегка закрасить пересечение, когда вопрос касается обоих направлений. Но надпись A∩B всё равно нужна. На чёрно-белой распечатке цвет исчезнет, а обозначение останется. Не закрашивай общую часть так плотно, чтобы пропали цифры.
Перед переносом на чистый лист я сверяю короткую памятку:
у рамки есть понятное название U;
у кругов есть подписи A и B с расшифровкой;
все элементы из U размещены, повторов нет;
номера не стоят на контурах;
область вне кругов видна и не потеряна при обрезке листа;
цвет не заменяет смысловые обозначения.
Если выбор участника ещё не уточнили, не записывай его автоматически под кругами. Область «ни одна задача» означает подтверждённое отсутствие обоих признаков. Пропущенный ответ требует уточнения, иначе аккуратный рисунок скроет дырку в данных.
Для регулярной подготовки учебных схем можно сравнить условия работы с текстовыми задачами. Мне здесь полезна проверка состава областей: их можно обсудить в диалоге ещё до оформления на листе.
U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A={1,2,4,6,9}, B={2,3,6,8}. Разложи элементы по четырём непересекающимся областям: только A, пересечение, только B, вне обоих внутри U. Проверь отсутствие пропусков и повторов. Затем объясни, как перенести эти элементы на рисунок с двумя пересекающимися кругами внутри прямоугольника. Не делай площадь фигур пропорциональной численности без отдельного расчёта.
Попробуй прямо сейчас изменить готовую схему: участник 9 решил ещё и озвучивать героя, сохранив работу с декорациями. Перенеси его из левой отдельной части в пересечение. В A по-прежнему пять человек, в B станет пять, а в общей части будет три. Количество участников U останется равным десяти. Свободное поле внутри рамки тоже отвечает на вопрос; трогать его при этой правке не нужно.
