Как работает формула сокращённого умножения: три случая
Как работает формула сокращённого умножения: квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Показываю разбиение площади, раскрытие скобок и знаки.
Андрей
Преподаватель, научный редактор
8 мин чтения
Квадрат со стороной 7 можно мысленно разрезать на четыре части: квадрат 5×5, два прямоугольника 5×2 и квадрат 2×2. Сумма площадей 25+10+10+4 даёт 49. Здесь видно, как работает формула сокращённого умножения: одинаковые промежуточные произведения собираются в короткую запись. Площади прямоугольников одинаковы, поэтому в буквенной записи их можно объединить в 2ab. Дальше восстановим эту строку через умножение скобок.
Как работает формула сокращённого умножения на примере площадей?
Я беру a=5 и b=2. Сторона большого квадрата равна a+b=7. По горизонтали отмечаю отрезки 5 и 2, по вертикали делаю то же. Две линии разбивают фигуру на четыре прямоугольные части. Их площади можно записать в маленькой таблице, сохранив соответствие высоты и ширины.
Высота части / ширина части · a=5 · b=2
a=5 — a²=25 — ab=10
b=2 — ab=10 — b²=4
Я проверил разбиение по всем четырём клеткам. Два одинаковых прямоугольника дают ab+ab=2ab. Поэтому площадь целого складывается из a², двух ab и b². Для наших чисел это 25+20+4=49. Одних двух квадратов 25 и 4 было бы недостаточно: между ними остаются две видимые части.
Такая картинка хорошо отвечает на вопрос об удвоенном произведении. Но тождество можно вывести и без рисунка. Квадрат суммы означает умножение выражения на себя. Распределительный закон даёт каждое слагаемое первой скобки, умноженное на каждое слагаемое второй:
Я специально оставляю строку с четырьмя произведениями. Она объясняет происхождение формулы и помогает восстановить её, если короткая запись забылась. Это работает и для буквенных выражений: место a или b может занять целое выражение. Тогда квадрат и умножение относятся ко всему выбранному фрагменту, а не к одному удобному символу внутри него.
Например, в (x+3)² первое выражение x, второе 3. Получается x²+6x+9. В (2x+3)² первое выражение уже 2x, поэтому его квадрат равен 4x², а средний член 12x. Результат 4x²+12x+9 проверяется тем же раскрытием скобок. Я сначала называю две части, затем выполняю действия над ними целиком.
При вычитании полос угол приходится вернуть
Теперь хочу получить квадрат со стороной a−b. Для рисунка беру прежние положительные длины 5 и 2: остаётся сторона 3. Начну с квадрата 5×5. Уберу справа полосу шириной 2 и сверху полосу высотой 2. Каждая имеет площадь 10. Но угол 2×2 попал в обе полосы.
Если просто вычесть обе площади, этот угол будет вычтен дважды. Я возвращаю одну его площадь, 4. Оставшийся квадрат имеет площадь 25−10−10+4=9. В буквенной записи получается a²−2ab+b². Знак перед последним квадратом положительный, потому что мы исправляем двойное вычитание пересечения полос.
Алгебра даёт тот же ответ. Раскрываю (a−b)(a−b): появляются a², −ab, −ab и +b². Два средних слагаемых объединяются в −2ab. Последнее произведение равно (−b)(−b)=b², поэтому перед b² стоит плюс. Так геометрическая история согласуется с обычными правилами умножения.
Если хочется разобрать именно происхождение среднего члена, в LibraChat можно поставить такой вопрос:
Объясни квадрат разности на примере a=5, b=2. Сначала раскрой (a−b)(a−b), не пропуская четыре произведения. Затем свяжи результат с вычитанием двух полос из квадрата и возвратом общего угла. Поясни, почему геометрическому рисунку нужны неотрицательные длины и a≥b. После объяснения задай мне один вопрос о знаке последнего слагаемого.
Попробуй получить такое объяснение для своей пары выражений. Сверяй каждое произведение со скобками, а не только итоговую строку. Если добавляешь фотографию собственного чертежа или решения, условия вложений можно посмотреть в тарифах LibraChat. Само объяснение примера можно передать обычным текстом.
У разности квадратов исчезают средние произведения
Третья задача выглядит похожей, но операция другая: нужно найти a²−b². Для 5 и 2 это 25−4=21. Я вырезаю из большого квадрата только маленький квадрат в углу. Оставшаяся фигура уже не квадрат со стороной 3. Её площадь 21, а не 9.
Остаток можно разделить на прямоугольники 3×5 и 3×2. Если переставить их к общей стороне 3, получится прямоугольник 3×7. Его площадь равна (5−2)(5+2)=21. Отсюда на рисунке видна формула разности квадратов: разность сторон умножается на их сумму.
Для букв проверяю раскрытием:
```text
(a−b)(a+b) = a² + ab − ab − b²
= a² − b²
```
В этой строке средние слагаемые противоположны, поэтому сокращаются. В квадрате разности оба средних слагаемых равны −ab и складываются. Именно их поведение различает два случая. Названия «квадрат разности» и «разность квадратов» короткие, но порядок слов отражает разные действия.
Выражение · Для a=5, b=2 · Результат
Квадрат суммы — (5+2)² — 49
Квадрат разности — (5−2)² — 9
Разность квадратов — 5²−2² — 21
Эту таблицу я использую как проверку чтения. Сначала объясняю, что возводится в квадрат и где стоит вычитание. Затем считаю. Если сразу узнавать только знакомые буквы a и b, можно подставить формулу для другого выражения. Похожие символы не отменяют порядка операций.
Разность квадратов полезна и в обратном направлении. Например, x²−9 можно записать как (x−3)(x+3). При этом x²+9 над действительными числами не превращается по тому же правилу в (x−3)(x+3): у произведения справа после раскрытия останется минус 9. Я проверяю знак между квадратами до выбора этой формулы.
Как работает формула сокращённого умножения при отрицательных числах?
Для геометрических рисунков нужны неотрицательные длины, а в конструкции с вычитанием полос я также использовал a≥b. Отрицательную сторону квадрата рисовать не требуется. Алгебраические тождества при этом верны для любых действительных a и b, потому что выведены распределительным законом и правилами действий с числами.
Я беру a=2, b=−3. Квадрат суммы равен (2−3)²=1. По формуле выходит 4−12+9=1. Квадрат разности равен (2−(−3))²=25; раскрытая запись даёт 4+12+9=25. Получается, что член −2ab здесь положительный. Сам знак перед 2ab не гарантирует отрицательного значения всего произведения.
Разность квадратов для той же пары равна 4−9=−5. Через множители: (2−(−3))(2+(−3))=5·(−1)=−5. Это не квадрат отрицательной длины, а алгебраическое выражение с отрицательным значением. Квадрат разности остаётся неотрицательным; разность квадратов такого ограничения не имеет.
Для сверки я добавил ещё одну пару:
a · b · (a+b)² · (a−b)² · a²−b²
2 — −3 — 1 — 25 — −5
−2 — −3 — 25 — 1 — −5
Подстановка удобна для проверки конкретного расчёта, но несколько совпавших примеров сами по себе не доказывают тождество для всех чисел. Общее обоснование уже есть в раскрытии скобок. Я держу эти две роли отдельно: вывод объясняет, почему правило верно, а числа помогают проверить применение и знаки.
Как восстановить короткую запись самостоятельно?
Если формула не вспоминается, я возвращаюсь к двум скобкам. Для квадрата они одинаковы. Для разности квадратов удобно проверить произведение суммы и разности. После раскрытия нужно увидеть, какие промежуточные члены складываются, а какие уничтожаются. Это позволяет восстановить структуру результата без подбора по внешнему сходству.
Держу такой порядок:
Читаю исходное выражение и называю операцию.
Определяю, какие целые выражения играют роли a и b.
Записываю произведение скобок.
Получаю все промежуточные произведения со знаками.
Объединяю подобные члены и при необходимости проверяю числами.
Для самостоятельной проверки полезно спросить себя:
откуда взялись два средних произведения;
почему они одинаковы или противоположны;
возводится ли в квадрат всё выражение;
допустим ли выбранный рисунок для данных значений;
проверяет подстановка случай или доказывает общее правило.
Покажи чату строку до сокращения подобных членов. Для (x−4)² это позволит обсудить два произведения −4x, а не просто получить готовый x²−8x+16. К этому примеру можно добавить материал о работе с задачами в нейросети, если затем переходишь к другим выражениям. Объяснение промежуточной строки полезнее ещё одного повторения названия формулы.
Для меня слово «сокращённое» означает, что знакомую цепочку вычислений можно записать короче. Сама цепочка никуда не исчезла: её можно восстановить и объяснить. Когда видны оба прямоугольника ab или пара ab и −ab, короткая формула перестаёт быть отдельной загадкой и становится удобной записью уже понятного умножения.
