Написать уравнение движения тел: графики, две прямые и одна встреча
Написать уравнение движения тел по графикам: как найти начальную координату и скорость, записать x(t) и место встречи — разбор задачи для 9 класса.
А
Андрей
Преподаватель, научный редактор
6 мин чтения
Формула в этой задаче одна на всех: координата равна начальной координате плюс скорость, умноженная на время, x = x₀ + vt. Ошибаются не в ней, а в чтении графика. Где было тело в начальный момент? В какую сторону оно движется и как быстро? Чтобы написать уравнение движения тел, графики которых даны в задаче, нужно снять с каждой прямой две точки. Начальная координата равна значению x при t = 0: там прямая пересекает ось координат. Скорость равна изменению координаты, делённому на изменение времени, со знаком. Дальше всё решается в три строки.
Я проверил, как с такой задачей справляется LibraChat, и описал графики словами: два тела, две прямые. Решение пришло верное. Интереснее оказалось другое: какую часть работы здесь не сделает за ученика никто.
Решение, которое я засчитал бы
Запрос был таким, от лица девятиклассника:
По графику x(t) первое тело в момент t = 0 находится в точке 10 м, а через 5 с — в точке 0 м. Второе тело стартует из точки −5 м и через 5 с оказывается в точке 15 м. Напиши уравнения движения обоих тел, найди место и время встречи и объясни каждый шаг для 9 класса.
Точки с графика из своей задачи подставь вместо моих и отправь запрос в LibraChat. Только сначала реши сам: ответ нужен, чтобы сверить ход мысли, а не чтобы переписать.
Ответ разобрал каждое тело отдельно. Первое за 5 секунд сместилось с 10 метров на 0, значит, его скорость минус 2 метра в секунду, а уравнение: x = 10 − 2t. Второе прошло 20 метров за 5 секунд, его скорость плюс 4, уравнение: x = −5 + 4t. Потом ответ сделал главный ход:
Тела встречаются, когда их координаты равны:
Дальше те самые три строки: 10 − 2t = −5 + 4t, отсюда 6t = 15 и t = 2,5 с; x = 10 − 2 · 2,5 = 5 м. Координату ответ проверил и по второму уравнению, это хороший тон. Итог сформулирован так:
Это я бы засчитал. Одну пометку на полях всё же поставил бы. Минус в скорости первого тела ответ объяснил словом «влево», а это верно, только если ось направлена вправо. Надёжнее писать «против оси». Знак скорости — самое уязвимое место таких решений.
Что остаётся на тебе: снять точки с графика
Мой запрос был с подсказкой: самую трудную часть, снять точки с рисунка, я сделал сам ещё до запроса. В настоящей задаче график нарисован, и точки с него снимаешь ты. Тут и прячутся ошибки, которых не исправит никакое решение.
Точки берут там, где прямая проходит через узлы сетки, а не между ними. Масштаб осей смотрят до того, как считать: одна клетка может означать и метр, и пять метров, и секунду, и две. Если ошибиться в одной точке, уравнение выйдет уверенным и неверным, и проверка по той же точке ошибку не покажет.
Бывает, что второе тело начинает движение не сразу, а, скажем, через 2 секунды. На графике такая прямая начинается не на оси координат, а правее. Тогда в уравнении время отсчитывают от его старта: вместо t пишут t − 2, а начальной координатой берут ту, что на графике в момент t = 2 с. Уравнение x = x₀ + v(t − 2) работает только после этого момента.
Фото страницы с графиком можно прикрепить к сообщению, LibraChat разбирает фотографии. Но координаты точек я бы всё равно выписал сам и сверил с ответом. На рисунке легко спутать соседние деления.
Проверка по третьей точке и по пересечению
Отдельным запросом я спросил, как вообще записывают уравнение по графику и как его проверить. Порядок ответ дал правильный, а проверку сформулировал так:
Если получилось точно то значение, которое показывает график, — уравнение правильное.
Проверять стоит по точке, которую ты не использовал для расчёта. Иначе проверка ничего не проверит.
Есть и проверка без расчётов: прочитай своё уравнение обратно. Уравнение x = 10 − 2t значит, что тело стартовало из точки 10 метров и движется против оси, на 2 метра за каждую секунду. Если график показывает то же самое, уравнение верное.
Как разбираться в смысле физических формул, а не только подставлять в них числа, рассказано в материале про нейросеть для физики. Как проверять решение уравнений, когда ответ уже есть, рассказано в разборе про решение уравнений с нейросетью.
Для встречи есть ещё одна проверка, самая наглядная. Тела встречаются там, где пересекаются их графики. Найди эту точку на рисунке: если пересечение в районе 2,5 секунды и 5 метров, расчёт верный.
Если прямые на графике параллельны, скорости у тел одинаковые, и они не встретятся: равенство координат не даст решения. Если оба тела движутся в одну сторону, а прямые сходятся, одно догоняет другое. Решается это так же: координаты приравнивают и находят время.
Три места, где легко ошибиться
Первое — знак скорости, и он виден прямо на графике. Прямая идёт вниз: скорость отрицательная. Вверх: положительная. Горизонтальная прямая значит, что тело стоит.
Второе — путаница пути и перемещения. Первое тело из моей задачи прошло 10 метров, а его координата изменилась на минус 10. Возьми вместо изменения координаты путь, и выйдет x = 10 + 2t: на бумаге тело уедет в другую сторону. В уравнение идёт изменение координаты, со знаком.
Третье — единицы. Если время на оси в минутах, а координата в километрах, скорость выйдет в километрах в минуту, а не в метрах в секунду. Переводи до расчёта, а не после. Например, 36 километров в час — это 10 метров в секунду: умножаешь на 1000 и делишь на 3600.
Что я вернул бы: тангенс угла
Одно место в том же ответе я бы вернул на доработку:
Скорость равна тангенсу угла наклона:
Это верно только в том смысле, что скорость численно равна тангенсу, и только если на осях одинаковый масштаб. А масштаб по осям бывает разным. Пусть одна клетка по оси времени означает секунду, а по оси координат 5 метров. Тогда скорость окажется в пять раз больше тангенса угла, который ты измеришь на рисунке.
Поэтому на практике скорость считают как отношение изменения координаты к изменению времени по двум точкам. Тангенс угла, измеренного транспортиром на клетчатой бумаге, легко даст другое число.
С чего я начинаю такую задачу
Что я делаю первым, когда вижу два графика? Не пишу формулу. Выписываю для каждой прямой две точки на узлах сетки и подписываю, какое это тело.
Если прямая почти не попадает в узлы, беру две самые далёкие друг от друга точки, которые читаются уверенно. Чем дальше точки друг от друга, тем меньше ошибка в скорости.
Открой ближайшую задачу с графиками: сможешь выписать для каждой прямой по две точки на узлах сетки ещё до любых формул?
написать уравнение движения тел графикиучёбафизика9 класс
