Примеры на применение формул сокращённого умножения
Разбираем примеры на применение формул сокращённого умножения: раскрытие скобок, разложение на множители и устный счёт с проверкой знаков и среднего члена.
Андрей
Преподаватель, научный редактор
6 мин чтения
Я готовил разминку по устному счёту и написал: 198² = 200² − 2² = 39 996. Красиво, быстро и неверно. Правильный ответ — 39 204. Я перепутал квадрат разности с разностью квадратов: два похожих названия прикрыли два разных действия. Поэтому примеры на применение формул сокращённого умножения я теперь начинаю с вопроса «что именно здесь умножают?», а не с просьбы вспомнить строку из учебника.
Самое неприятное в той ошибке — числа выглядели правдоподобно. Результат чуть меньше сорока тысяч, как и ожидалось. Чтобы поймать подмену, понадобилось посмотреть на скобки. Из этой истории у меня вырос порядок разбора: узнать конструкцию, назвать её части и проверить преобразование другим действием.
Ошибка пряталась между двумя похожими формулами
Квадрат разности (a − b)² означает (a − b)(a − b). Если раскрыть скобки по обычному правилу умножения, получится a² − ab − ab + b². Два одинаковых произведения складываются в −2ab. Отсюда формула: (a − b)² = a² − 2ab + b².
В произведении (a − b)(a + b) знаки внутри скобок различаются. После раскрытия появляются +ab и −ab, которые уничтожаются. Остаётся a² − b². Именно эту формулу я по ошибке применил там, где обе скобки должны были быть одинаковыми.
Мой первый ответ оказался верным результатом другой задачи. Я оставил обе строки рядом: так понятнее, чем просто зачеркнуть число и написать новое. «Сокращённое» умножение сокращает запись вычисления, но не позволяет выбрасывать слагаемые по внешнему сходству.
Примеры на применение формул сокращённого умножения: сначала узнай вид
Ниже пять формул для разбираемых задач. Равенства читаются в обе стороны: слева направо можно раскрывать скобки, справа налево — собирать выражение в произведение или квадрат. Буквы a и b обозначают целые части выражения: число, одночлен или более длинную скобку.
Что узнаём · Формула · На что смотрю перед применением
Квадрат суммы — (a + b)² = a² + 2ab + b² — Есть удвоенное произведение двух частей
Квадрат разности — (a − b)² = a² − 2ab + b² — Последний квадрат со знаком плюс
Разность квадратов — a² − b² = (a − b)(a + b) — Вычитаются два квадрата
Сумма кубов — a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) — В трёхчленной скобке средний знак минус
Разность кубов — a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) — В трёхчленной скобке все знаки плюс
Я не пытаюсь угадать формулу по одному минусу. В выражениях (a − b)² и a² − b² минус есть, но степень относится к разным объектам. Сначала нужно увидеть, что возводят в квадрат: всю разность или каждую часть отдельно.
Раскрываем квадрат с коэффициентом
Возьмём (4x + 3)². Здесь первая часть a = 4x, вторая b = 3. Квадрат первой части — (4x)² = 16x². Удвоенное произведение — 2 · 4x · 3 = 24x. Квадрат второй части — 9. Поэтому:
(4x + 3)² = 16x² + 24x + 9.
Я специально выписал (4x)² со скобками. Запись 4x² потеряла бы квадрат коэффициента. Проверил результат при x = −1: слева (−4 + 3)² = 1, справа 16 − 24 + 9 = 1. Такая подстановка ловит многие ошибки, хотя одно совпадение ещё не доказывает тождество для всех x. Само равенство мы получили раскрытием скобок.
Собираем разность в произведение
Теперь задача в обратную сторону: разложить 49x² − 25 на множители. Я сначала переписываю её как (7x)² − 5². Получились два квадрата с минусом между ними, значит:
49x² − 25 = (7x − 5)(7x + 5).
Если знак между исходными квадратами заменить плюсом, эту формулу применять нельзя. Выражение 49x² + 25 не превращается в те же скобки. У правила есть точная форма, а не приблизительное сходство с примером.
Проверка должна находить ошибку, а не подтверждать привычку
После истории с 198 я стал опасаться проверки тем же способом, которым считал. Можно дважды пропустить одно и то же слагаемое. Поэтому я меняю действие: после разложения раскрываю скобки, после быстрого счёта прикидываю результат через соседнее число.
Например, 198² можно проверить обычным умножением: 198 · (200 − 2) = 39 600 − 396 = 39 204. Здесь я не повторял формулу квадрата разности. В моём неверном результате ошибка составляла 792 — это пропущенные 800 вместе с неверным знаком у последней четвёрки.
С буквами полезен ещё один короткий маршрут:
Отмечаю, что обозначают a и b в конкретной задаче.
Записываю формулу с этими частями в скобках, сохраняя степени и знаки.
Упрощаю коэффициенты и подобные слагаемые.
Проверяю обратным раскрытием; для дополнительного контроля подставляю простое ненулевое значение.
Ноль для подстановки иногда слишком снисходителен. В выражениях 16x² + 24x + 9 и 16x² + 9 при x = 0 получится одно и то же число 9. Потерянный средний член останется незамеченным. При x = 1 результаты уже различаются: 49 и 25.
Когда вместо квадратов появляются кубы
В задаче 8x³ + 27 я вижу (2x)³ + 3³. Подставляю a = 2x и b = 3 в формулу суммы кубов:
8x³ + 27 = (2x + 3)(4x² − 6x + 9).
Вторая скобка — не квадрат разности. Для квадрата (2x − 3)² средний член был бы −12x, а здесь нужен −6x. Я проговариваю это место отдельно: знакомые крайние квадраты легко провоцируют дописать привычную формулу.
Для разности 27t³ − 1 части другие: a = 3t, b = 1. Получается (3t − 1)(9t² + 3t + 1). При обратном умножении промежуточные члены сократятся, останутся 27t³ и −1. Так проверяется и знак в первой скобке, и знак среднего члена во второй.
Для серии самостоятельных разборов условия доступа можно посмотреть на странице тарифов LibraChat. Затем открой чат LibraChat и задай проверку без преждевременного решения:
Предложи пример на разность квадратов и дождись моего разложения. Попроси меня назвать обе части формулы. Если я ошибусь, укажи первое неверное преобразование и предложи раскрыть мои скобки обратно.
Когда преобразование становится частью решения уравнения, меняется следующая задача: нужно искать значения неизвестного. Этот переход разобран в материале про примеры уравнений.
На моём листе с разминкой теперь стоят рядом 198² = 39 204 и 198 · 202 = 39 996. Я не убрал ошибочную строку бесследно, а вернул ей подходящее условие. Одни и те же числа 200 и 2 больше не скрывают от меня разницу между одинаковыми скобками и скобками с разными знаками.
