Примеры на тему формулы сокращенного умножения: разбор
Примеры на тему формулы сокращенного умножения: два подробных разбора, таблица тождеств и задания для проверки. Учимся выбирать формулу и не терять средний член.
Андрей
Преподаватель, научный редактор
6 мин чтения
Ученик написал `(3x − 4)² = 9x² + 16` и уверенно подчеркнул ответ. Квадраты он посчитал правильно. Но часть произведения исчезла. Я не стал сразу диктовать формулу: попросил заменить квадрат двумя одинаковыми скобками. Так мы и начали разбирать примеры на тему формулы сокращенного умножения — с поиска потерянного действия.
Ниже два подробных примера и небольшая самостоятельная проверка. Это разбор способа, а не ответы к определённому учебнику. Главная задача — научиться узнавать устройство выражения, даже когда вместо простых букв стоят `3x`, `7y` или целая скобка.
Примеры на тему формулы сокращенного умножения: сначала форма
Перед подстановкой я предлагаю сказать вслух, что дано. «Разность двух квадратов» и «квадрат разности» звучат похоже. В первом случае квадратами являются два отдельных выражения. Во втором в квадрат возводится вся скобка.
Сокращённое умножение опирается на обычное раскрытие скобок. Формула экономит запись уже понятного действия, а не вводит особый способ умножать буквы.
В таблице собраны основные тождества для действительных чисел. Их можно читать в обе стороны: раскрывать скобки либо представлять многочлен произведением.
Разность кубов — `a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)`
Не пытайся охватить всю таблицу одной задачей. Для наших первых двух выражений нужны только квадрат разности и разность квадратов. Кубы пригодятся позже, когда станет понятен сам принцип узнавания.
Особенно внимательно смотри на среднее слагаемое. У квадрата суммы это удвоенное произведение `2ab`. Во второй скобке формулы суммы кубов стоит `−ab`, а не `−2ab`. Внешнее сходство скобок здесь легко обманывает память.
Пример 1: почему в квадрате разности три слагаемых
Раскроем `(3x − 4)²`. Сначала назовём две части скобки: `a = 3x`, `b = 4`. Минус между ними уже учтён в форме `(a − b)²`.
Дальше я записываю три отдельных шага:
Квадрат первой части: `(3x)² = 9x²`.
Удвоенное произведение частей: `2 · 3x · 4 = 24x`.
Квадрат второй части: `4² = 16`.
Теперь сохраняем знаки выбранной формулы:
`(3x − 4)² = 9x² − 24x + 16`.
Последнее слагаемое положительное. Мы возводим в квадрат число 4; минус среднего слагаемого появляется из перекрёстных произведений при раскрытии скобок.
Если формула вылетела из головы, вернись к определению квадрата:
`(3x − 4)(3x − 4) = 9x² − 12x − 12x + 16`.
Два одинаковых слагаемых `−12x` складываются в `−24x`. Вот куда делась середина в первоначальном ответе ученика. Она не могла исчезнуть сама.
Я попросил его проверить обе записи при `x = 2`. Исходная скобка даёт `(6 − 4)² = 4`. Ошибочная запись даёт `36 + 16 = 52`. Исправленная — `36 − 48 + 16 = 4`.
Одна подстановка быстро обнаруживает ошибку, но не доказывает тождество для всех значений. Доказательство здесь — раскрытие скобок. Это различие я проговариваю отдельно: удачный контрольный пример помогает проверить решение, а не заменяет обоснование.
Есть ещё ловушка с обозначениями. Можно принять `b = −4` и использовать квадрат суммы `(3x + (−4))²`. Получится тот же ответ. Но нельзя одновременно взять отрицательное `b` и бездумно повторить минус из формулы квадрата разности: тогда мы уже рассматриваем другую скобку.
Пример 2: разность квадратов превращается в произведение
Теперь разложим `49y² − 81`. Здесь нет внешнего квадрата над общей скобкой. Зато `49y² = (7y)²`, а `81 = 9²`. Перед нами два квадрата с минусом между ними.
Получаем:
`49y² − 81 = (7y − 9)(7y + 9)`.
Первая скобка содержит разность частей, вторая их сумму. Раскроем их для контроля:
Перекрёстные слагаемые уничтожились. В предыдущем примере они складывались. Именно поэтому одному выражению нужны три слагаемых после раскрытия, а другому хватает двух.
При `y = 2` исходное выражение равно `196 − 81 = 115`. Произведение даёт `(14 − 9)(14 + 9) = 5 · 23 = 115`. Эта проверка полезна после записи решения, особенно если сомневаешься в знаке.
По тому же принципу можно посчитать `49 · 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 2500 − 1 = 2499`. Мы узнаём общий центр 50 и одинаковое отклонение от него. Не любые два соседних на вид числа позволяют сразу сделать такую запись: сначала назови центр и отклонение.
`25x² − 9 = (5x − 3)(5x + 3)`: середины нет, это разность квадратов.
При `x = 1` значения равны соответственно 4 и 16. Две записи нельзя подменять друг другом только потому, что в обеих встречаются 5 и 3.
Проверка без подсказки из соседней строки
Когда подробно разобраны два примера по теме формулы сокращенного умножения, я меняю не только числа, но и направление работы. Иначе легко научиться повторять вид предыдущего ответа.
Если ответ разошёлся, не переписывай его целиком. Отметь первый неверный шаг: выбор формулы, возведение составной части в степень, средний член или знак. Тогда следующая задача проверит именно слабое место.
Для тренировки объяснения попробуй сейчас задать в LibraChat такой запрос:
Я получил [мои шаги] для выражения [выражение]. Не давай сразу готовое решение. Найди первый неверный переход, объясни его через умножение скобок и предложи один похожий пример для самостоятельной попытки.
Это предлагаемый способ диалога, а не показанный ответ сервиса. Полученное объяснение тоже проверяй раскрытием скобок. О работе с учебными задачами есть отдельный материал о нейросети для физики; условия использования — в тарифах LibraChat.
Я заканчиваю такое занятие просьбой назвать формулу до вычислений. Если ученик говорит «это квадрат всей разности, поэтому будет среднее слагаемое», он уже видит устройство задачи. Таблицу тождеств после этого легче и запомнить, и восстановить, если память подвела.
