Примеры таблиц: вероятность и статистика на двух монетах
Примеры таблиц: вероятность и статистика на одном наборе записей. Разбираю частоты, распределение и таблицу двух признаков, показываю расчёты и проверки.
Андрей
Преподаватель, научный редактор
6 мин чтения
В одной таблице для двух орлов получится 0,3, в другой 0,25. Обе записи могут быть правильными: первая описывает заданные результаты, вторая относится к вероятностной модели. Эти примеры таблиц помогают разделить вероятность и статистику ещё до вычислений. Я собрал три образца: частоты, распределение вероятностей и пересечение двух признаков. Для каждого нужен свой вопрос к данным.
Примеры таблиц: с чего начинаются вероятность и статистика
Я беру две различимые монеты: первую и вторую. Обозначаю орла буквой О, решку буквой Р. Порядок важен. ОР и РО считаются разными записями. Вот исходник для статистических таблиц, десять пар:
```text
РР, РО, ОР, ОО, РО, РР, ОО, ОР, ОО, РО
```
Каждая пара занимает одну запись. Объём набора равен десяти, хотя отдельных букв в нём двадцать. Я пересчитал пары перед заполнением таблицы: здесь нужно учитывать результат с двумя монетами целиком. Если считать каждую букву отдельным наблюдением, получится уже другой набор данных и другой вопрос.
Обозначу количество орлов в паре через X. Возможны значения 0, 1 и 2. Первую таблицу я составляю по исходным записям. Пара РР даёт ноль орлов, ОР и РО дают по одному. У ОО два орла. ОО встречается 3 раза. Поэтому частота значения X = 2 равна трём.
Количество орлов X · Частота · Относительная частота
Частота отвечает на вопрос «сколько записей?». Относительная частота показывает их долю. Знаменатель в каждой строке одинаковый: десять. Я проверил обе суммы: 2 + 5 + 3 = 10, а 0,2 + 0,5 + 0,3 = 1. Это подтверждает согласованность подсчёта, но ещё не объясняет, откуда взялись данные.
В LibraChat можно передать список и попросить такую группировку. Для небольшого набора я оставляю исходные пары прямо в запросе:
Составь таблицу частот количества орлов в парах: РР, РО, ОР, ОО, РО, РР, ОО, ОР, ОО, РО. О — орёл, Р — решка; одна пара — одна запись. Покажи значения 0, 1, 2, частоты, относительные частоты и итоги. Объясни знаменатель. Не называй доли этого набора теоретическими вероятностями.
Вставь в чат свой список, указав, что считается одной записью. Если передаёшь исходник файлом, заранее сверь условия обработки документов в тарифах LibraChat. Сверяй частоты с исходными парами монет: группировка удобна именно тогда, когда записи остаются доступными для пересчёта.
Таблица вероятностей строится из модели
Теперь зададим другую основу: две независимые честные монеты. У каждой орёл и решка имеют вероятность 1/2. Четыре упорядоченных исхода ОО, ОР, РО, РР равновероятны. Каждому соответствует вероятность 1/4. Здесь мы рассматриваем все исходы модели, а не частоты десяти приведённых записей.
Для нуля орлов подходит один исход, РР. Один орёл появляется в двух исходах: ОР и РО. Два орла есть только в ОО. Получается распределение случайной величины X:
X · Подходящие исходы · P(X = x)
0 — РР — 1/4 = 0,25
1 — ОР, РО — 2/4 = 0,5
2 — ОО — 1/4 = 0,25
Итого — Все четыре исхода — 1
Значений X три, но они не обязаны быть равновероятными. Для единицы есть два способа получить результат. Поэтому распределить вероятность поровну между строками, по одной трети, нельзя. Сначала нужно разобраться с исходами, которые соответствуют каждой строке. Число строк само по себе ничего не решает.
Я различаю две проверки этой таблицы. Каждая вероятность должна лежать от нуля до единицы, а сумма — равняться единице. Затем я сверяю сами основания: все ли исходы учтены и верно ли задана их вероятность. Например, нечестные или зависимые монеты потребовали бы другой модели. Верная сумма не исправит неверное предположение.
Разница 0,3 и 0,25 в начале статьи теперь объяснима. В заданном наборе пара ОО заняла три места из десяти. В модели независимых честных монет ей соответствует один исход из четырёх равновероятных. Эти числа отвечают на разные вопросы. По десяти заданным записям я не объявляю монеты честными или нечестными.
Таблица двух признаков сохраняет порядок монет
Для третьего образца возвращаюсь к десяти записям. В строках будет первая монета, в столбцах — вторая. Теперь я не свожу ОР и РО к одному орлу: хочу видеть их по отдельности. Я собрал пересечение признаков и добавил итоги по обоим направлениям.
Первая монета / вторая монета · О · Р · Итого
О — 3 — 2 — 5
Р — 3 — 2 — 5
Итого — 6 — 4 — 10
Число в клетке О/Р равно двум: именно столько раз в исходнике записано ОР. Нижняя строка говорит, что орёл на второй монете встречается шесть раз. Правый столбец показывает пять записей с орлом на первой. Подписи осей здесь так же важны, как числа: при перестановке монет смысл клетки меняется.
Теперь спросим: среди записей, где первая монета дала Р, какая доля содержит О на второй? Нужная строка содержит пять записей, из них три подходят. Получается 3/5 = 0,6. Если спросить наоборот, долю первой Р среди записей со второй О, знаменатель уже шесть: 3/6 = 0,5. Числитель остался тем же. Условие изменило группу сравнения.
Это доли конкретного набора. Их нельзя без пояснения подписать теоретическими вероятностями честных монет. Для чтения такой таблицы я держу порядок:
Называю условие, по которому отбирается группа.
Нахожу размер этой группы в итогах.
Нахожу внутри неё нужное сочетание.
Делю число подходящих записей на размер выбранной группы.
Что оставить рядом с готовой таблицей
В каждой из трёх таблиц я сохраняю основание расчёта. У частот это список записей и их количество. Распределению нужны определение X и предположения о монетах. Для таблицы двух признаков я указываю смысл строк и столбцов. Без этих подписей числа можно скопировать точно и при этом прочитать неверно.
Перед сдачей или передачей таблицы проверь:
понятно ли, что считается одним наблюдением;
различаются ли число случаев, доля и вероятность;
указан ли смысл каждого итога;
можно ли восстановить знаменатель дроби;
не изменили ли округления показанные суммы.
В наших расчётах десятичные доли конечные. В других данных округлённые значения могут дать итог чуть меньше или больше единицы; полезно хранить исходные дроби и округлять итог осмысленно. В запросе я передаю пары по порядку и объясняю буквенные обозначения. Так остаётся понятно, что именно группируется в строках. Если после монет переходишь к другим данным, материал о работе с таблицами можно оставить рядом с этой шпаргалкой.
Я не считаю красивую строку «Итого: 1» достаточной защитой таблицы. Ошибочную модель тоже можно аккуратно нормировать. Мне нужен ответ на более содержательный вопрос: почему именно эти значения и именно этот знаменатель относятся к поставленной задаче? Если объяснение есть, таблица помогает рассуждать, а не просто заполняет место в работе.
